ماکسول – بولتزمن چیست

توزیع ماکسول بولتزمن

0

ماکسول – بولتزمن چیست

 

مولکول های هوا اطراف ما همه با یک سرعت حرکت نمی کنند ، حتی اگر هوا همه در یک دما واحد باشند. برخی از مولکول های هوا بسیار سریع حرکت می کنند ، برخی با سرعت متوسط ​​حرکت می کنند و برخی از مولکول های هوا به سختی در حال حرکت هستند. به همین دلیل ، ما نمی توانیم سؤالاتی از قبیل “سرعت مولکول هوا در یک گاز چقدر است؟” از آنجا که یک مولکول موجود در یک گاز می تواند تعداد زیادی از سرعتهای ممکن را داشته باشد.
 
بنابراین به جای سؤال از هر یک از مولکولهای خاص گاز ، سؤالاتی را مطرح می کنیم ، “توزیع سرعت در یک گاز در دمای معین چیست؟” در اواسط اواخر دهه ۱۸۰۰ ، جیمز کلرک ماکسول و لودویگ بولتزمان جواب این سؤال را فهمیدند. نتیجه آنها به توزیع ماکسول-بولتزمن گفته می شود ، زیرا نشان می دهد که چگونه سرعت مولکول ها برای یک گاز ایده آل توزیع می شود. توزیع ماکسول-بولتزمن اغلب با نمودار زیر نشان داده شده است.

 
ماکسول - بولتزمن چیست
 

محور y از نمودار ماکسول بولتزمن می توان تصور کرد که تعداد مولکول ها را در سرعت واحد می دهد. بنابراین ، اگر نمودار در یک منطقه معین بالاتر باشد ، بدین معنی است که تعداد مولکول های گازی بیشتری با آن سرعت ها در حال حرکت هستند. 
 
توجه کنید که نمودار متقارن نیست. در انتهای سمت راست نمودار سرعت “دم” طولانی تری وجود دارد. نمودار در سمت راست به سرعتهای بسیار بزرگ ادامه می یابد ، اما در سمت چپ نمودار باید به صفر ختم شود (از آنجا که یک مولکول نمی تواند سرعت کمتر از صفر داشته باشد).
 
 
معادله ریاضی واقعی برای توزیع ماکسول بولتزمن کمی ترسناک است و به طور معمول برای بسیاری از کلاس های جبر مقدماتی مورد نیاز نیست. 

 
 

سرعت ریشه متوسط ​​مربع چیست؟

 
ممکن است فکر کنید که سرعت مستقر در زیر قله نمودار ماکسول-بولتزمن ، میانگین سرعت یک مولکول در گاز است ، اما این درست نیست. سرعت مستقیمی که در زیر قله قرار دارد   ، از آنجا که این سرعت است که به احتمال زیاد برای یک مولکول در یک گاز یافت می شود.
 
 
ماکسول
 
 
 
 
 
 
یک مولکول موجود در گاز واقعاً کمی در سمت راست   اوج قرار دارد. دلیل اینکه سرعت متوسط ​​در سمت راست قله قرار دارد به دلیل طولانی تر بودن “دم” در سمت راست نمودار توزیع ماکسول-بولتزمن است. این دم طولانی تر سرعت متوسط ​​را کمی به سمت راست قله نمودار می کشد.
 
 
مقدار مفید دیگری با عنوان شناخته شده است 
 
 این کمیت جالب است زیرا تعریف در خود نام مخفی است. ریشه میانگین مربع سرعت است ریشه مربع از میانگین از مربع از سرعت. میانگین فقط کلمه ای دیگر است متوسط است. می توانیم سرعت ریشه میانگین مربع را به صورت ریاضیاتی بنویسیم ،  
 
 
ممکن است به نظر برسد که این روش برای پیدا کردن یک مقدار متوسط ​​غیر ضروری پیچیده است ، زیرا ما همه ی سرعت ها را مربع می کنیم ، فقط بعداً ریشه مربعی می گیریم. شاید تعجب کنید که “” چرا فقط سرعت متوسط ​​را نمی گیریم؟ “اما به یاد داشته باشید که سرعت یک بردار است و دارای جهت است. میانگین سرعت مولکول گاز صفر است ، زیرا تقریباً همان مقدار مولکول های گازی به درستی حرکت می کنند (+ سرعت به همین دلیل ما سرعت را مربع می کنیم و همه آنها را مثبت می کنیم. این تضمین می کند که در نظر گرفتن میانگین (یعنی مقدار متوسط) به ما صفر نمی رسد. فیزیکدانان اغلب از این ترفند برای پیدا کردن میانگین استفاده می کنند مقادیر بیش از مقادیری که می توانند مقادیر مثبت و منفی را به خود اختصاص دهند (به عنوان مثال ولتاژ و جریان در یک مدار جریان متناوب). 
 
 
 

منطقه تحت توزیع ماکسول-بولتزمن چه چیزی را نشان می دهد؟

 
 
محور y نمودار توزیع ماکسول-بولتزمن تعداد مولکولها در سرعت واحد را نشان می دهد. مساحت کل زیر منحنی با کل مولکولهای موجود در گاز برابر است.
 
بولتزمن
 
اگر گاز را به دمای بالاتر گرم کنیم ، اوج نمودار به سمت راست تغییر می کند (از آنجا که میانگین سرعت مولکولی افزایش می یابد). به عنوان نمودار به سمت راست تغییر می کند ، برای حفظ همان سطح کل در زیر منحنی ، باید ارتفاع نمودار کاهش یابد. به طور مشابه ، با خنک شدن یک گاز به دمای پایین ، قله نمودار به سمت چپ تغییر می کند. به عنوان نمودار به سمت چپ تغییر می کند ، برای حفظ همان منطقه در زیر منحنی ، باید ارتفاع نمودار افزایش یابد. این را می توان در منحنی های زیر مشاهده کرد که نمونه ای از گاز (با مقدار ثابت مولکول) را در دماهای مختلف نشان می دهد.
 
ماکسول - بولتزمن چیست
 
با سردتر شدن گاز ، نمودار بلندتر و باریک تر می شود. به همین ترتیب ، هرچه گاز داغ تر شود ، نمودار کوتاه تر و گسترده تر می شود. این امر برای ثابت ماندن ناحیه زیر منحنی (یعنی تعداد کل مولکول ها) لازم است.
 
اگر مولکولها وارد نمونه شوند ، سطح کل زیر منحنی افزایش می یابد. به همین ترتیب ، اگر مولکول ها نمونه را ترک کنند ، مساحت زیر منحنی کاهش می یابد.
 

نمونه های حل شده شامل توزیع ماکسول – بولتزمن چیست

 
 
مثال ۱: خنک کردن یک گاز
یک گاز نیتروژن دیاتومیک در یک ظرف بسته شده قرار دارد. ظرف آب بندی شده سپس در حمام یخ قرار داده می شود و با حمام یخ به دمای تعادل کمتری می رسد.
 
با خنک شدن گاز در مقادیر زیر چه اتفاقی می افتد؟
 
 
  1. نمودار تعداد مولکولها در مقابل سرعت باریک تر می شود
  2. سرعت مولکولی متوسط ​​مربع گاز افزایش می یابد

مثال ۲: تغییر در گاز

 
یک گاز دارای سرعت توزیع است که به شرح زیر است.
 
تغییر در گاز
 
 
کدام یک از مجموعه اقدامات زیر می تواند باعث شود نمودار توزیع از منحنی ۱ به منحنی ۲ تغییر یابد ، همانطور که در زیر مشاهده می شود؟
 
 
پاسخ :
 
  • برخی از مولکول های گاز مجاز به ترک نمونه هستند و نمونه گاز باقیمانده در یک ظرف بسته شده سرد می شود.

راه حل :

از آنجا که مساحت زیر نمودار کاهش می یابد ، برخی از مولکول های گازی باید نمونه را ترک کنند. همچنین از آنجا که ارتفاع اوج به سمت چپ تغییر یافته است ، میانگین سرعت مولکول های گاز کاهش یافته است ، به این معنی که نمونه باقیمانده به دمای سردتری رسیده است.
بنابراین ، اجازه خروج مقداری از بنزین و سپس خنک کردن گاز باقیمانده باعث ایجاد تغییر در نمودار توزیع می شود.
 
 
 
 
 
از طريق thermodynamics

ارسال یک پاسخ

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد.