4,000 تومان

تاریخ انتشار : جولای 19, 2018
تاریخ بروزرسانی : آگوست 11, 2018

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين

 

 

تهیه کننده : دكتر خدیجه احمدی آملی

درس : آناليز حقيقي 1

4 واحد

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين

فهرست

فصل 1 انتگرال گيري مجرد (84 اسلايد)

فصل 2 اندازه هاي بورل مثبت (119 اسلايد)

فصل 3 فضاهاي      (35 اسلايد)

فصل 4 نظريه مقدماتي فضاي هيلبرت (79 اسلايد)

فصل 5 چند نمونه از فضاي باناخ (91 اسلايد)

  • فصل اول

انتگرالگيری مجرد

هدف كلي

هدف کلی اين بخش ارئه ي نوعي انتگرال مي باشد كه بتواند جايگزين انتگرال ريمان باشد.

  • هدفهای رفتاری

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين در انتهاي اين بخش هدفهاي رفتاري زير را از فرا گيرنده انتظار داريم:

1) بتواند نشان دهد مجموعه اي   -جبر است يا خير.

2) بتواند تشخيص دهد تابعي اندازه پذير است يا خير.

3) مفهوم اندازه مثبت را بداند.

4) مجموعه بورل را تعريف كند.

5) مفاهيم انتگرال گيري از توابع مثبت و مختلط را بداند.

6) نقش مجموعه هاي از اندازه ي صفر را بداند..

  • توپولوژی
  1. 2 تعريف.

(آ)گردايه ی   از زيرمجموعه های مجموعه ی   را يک توپولوژی در  گوييم اگر     از سه خاصيت زير بهره مند باشد:

(يک)         و           .

(دو) هرگاه به ازای                         ، آنگاه                             ؛

(سه) هرگاه         گردايه ی دلخواهی از اعضای     (متناهی، شمارشپذير، يا شمارش ناپذير) باشد، آنگاه                     .

  • فضای توپولوژيک

(ب) هرگاه    يک توپولوژی در    باشد، آنگاه    را يک فضای توپولوژيک و اعضای    را مجموعه های باز در    می نامند.

(پ) هرگاه    و    دو فضای توپولوژيک بوده و    نگاشتی از    به توی         باشد، آنگاه گوييم    پيوسته است اگر به ازای هر مجموعه ی باز  در           مجموعه ی بازی در      باشد.

  • جبر
  1. 3 تعريف.

(آ) گردايه ی Mاز زير مجموعه های مجموعه ی    را يک   – جبر در  ناميم اگر M از خواص زير بهره مند باشد:

(يک)            M،

(دو) هرگاه        M، آنگاه M       که در آن    متمم    نسبت به       است؛

(سه) هرگاه             و به ازای                       ،        M، آنگاه                       M.

 

  • فضای اندازه پذير

(ب)آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين هرگاه M يک   – جبر در    باشد، آنگاه    را يک فضای اندازه پذير و اعضای M را مجموعه های اندازه پذير در    می ناميم.

(پ) هرگاه    يک فضای اندازه پذير،    يک فضای توپولوژيک و    نگاشتی از    به توی    باشد، آنگاه گوييم    اندازه پذير است اگر به ازای هر مجموعه ی باز    در   ،          يک مجموعه ی اندازه پذير در    باشد.

  •  
  1. 4 نکاتی راجع به تعريف 1. 2. متداولترين فضاهای توپولوژيک فضاهای متری اند.

يک فضای متری مجموعه ای است مانند    که در آن يک تابع فاصله (يا متر) مانند    با خواص زير تعريف شده است:

(آ) به ازای هر    و    در    ،                      ؛

(ب)                   اگر وفقط اگر              ؛

(پ) به ازای هر    و    در    ،                          ؛

  •  

(ت) به ازای هر   و    و    در   ،                                     .

خاصيت (ت) نامساوی مثلثی نام دارد.

اگر       و      ، گوی باز به مرکز    و شعاع     عبارت است از مجموعه ی

هرگاه    يک فضای متری بوده و   گردايه ی تمام مجموعه های        باشد که اجتماع های دلخواه گوي های بازند، آنگاه     يک توپولوژي در     است.

  • مثال

مثلاً در خط حقيقی    يک مجموعه باز است اگر و فقط اگر اجتماع بازه های باز          باشد. در صفحه ی    مجموعه های باز عبارتند از اجتماع قرص های مستدير باز.

فضای توپولوژيک ديگری که کراراً به آن برمی خوريم خط حقيقی وسعت يافته ی         است. توپولوژی آن به اين صورت تعريف می شود که مجموعه های         ،          ،            و هر اجتماع از اين نوع بازه ها را باز می گيريم.

  • پيوستگي

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين نگاشت    از    به توی    را در نقطه         پيوسته گوييم اگر به هر همسايگی    از      يک همسايگی مانند      از    نظير باشد که              .

(طبق تعريف، هر همسايگی نقطه ی     يک مجموعه ی باز شامل    می باشد.)

  •  
  1. 5 حکم.
  2. فرض کنيم و    فضاهايي توپولوژيک باشند. نگاشت   از   به توی   پيوسته است اگر و فقط اگر  در هر نقطه از   پيوسته باشد.
  3. 6 نکاتی راجع به تعريف 1. 3.
  4. فرض کنيم M يک – جبر در مجموعه ی باشد. با توجه به خواص (يک) تا (سه) تعريف 1-3 قسمت (آ)، نکات زير بی درنگ حاصل می­شوند.

(آ) چون         ، از (يک) و (دو) نتيجه می شود که      M.

  •  

(ب) با فرض                            در (سه) معلوم می شود که اگر به ازای                                         ، M         داريم M                             .

(پ) چون

M تحت تشکيل اشتراک های شمارشپذير (و نيز متناهی) بسته است.

  

  •  

(ت) از آنجا که                            ، اگر M       و M       ، داريم                   M.

پيشوند     اشاره به اين دارد که (سه) بايد به ازای جميع اجتماع های شمارشپذير از اعضای M برقرار باشد. هرگاه (سه) فقط برای اجتماع های متناهی برقرار باشد، M را يک جبر مجموعه ها می ناميم

  •  

قضيه. 

فرض کنيم    و    فضاهايي توپولوژيک بوده و  

 پيوسته باشد.

(آ) هرگاه    يک فضای توپولوژيک و                پيوسته بوده و         . آنگاه              نيز پيوسته است.

(ب) هرگاه    يک فضای اندازه پذير و                    اندازه پذير بوده و         ، آنگاه                    نيز اندازه پذير است.

  •  

برهان.

 هرگاه     در   باز باشد، آنگاه          در   باز است و

اگر  پيوسته باشد،          باز است و (آ) را ثابت می کند. اگر  اندازه پذير باشد،        اندازه پذير است و (ب) را ثابت خواهد کرد. ¾

  •  
  1. 8 قضيه.
  2. فرض کنيم و    توابعی اندازه پذير و حقيقی بر فضای اندازه پذير    بوده و    يک نگاشت پيوسته از صفحه به توی فضای توپولوژيک      باشد، و به ازای             تعريف می کنيم

در اين صورت                     اندازه پذير می باشد.

برهان. 

قرار می دهيم                            . چون              ، بنابر قضيه ی 1. 6 کافی است اندازه پذيری     را ثابت کنيم. ¾

  • قضيه
  1. 9. فرض کنيم يک فضای اندازه پذير باشد.

(آ) هرگاه               که در آن    و     توابعی اندازه پذير و حقيقی بر     اند، آنگاه     يک تابع اندازه پذير مختلط بر    می باشد.

اين امر از قضيه ی 1 .8 به ازای                 نتيجه می شود.

(ب) هرگاه                  يک تابع اندازه پذير مختلط بر      باشد، آنگاه   ،  

      و    توابعی اندازه پذير و حقيقی بر    می باشند.

اين امر از قضيه ی 1. 7 به ازای          ،           و              نتيجه میشود.

  • تابع مشخص

 (پ) هرگاه     و    توابعی اندازه پذير و مختلط بر     باشند، آنگاه

 و       نيز چنين اند.

(ت) هرگاه   يک مجموعه ی اندازه پذير در    بوده و

آنگاه       يک تابع اندازه پذير می باشد.

اين امر واضح است. ما         را تابع مشخص مجموعه ی     ناميده و حرف        را در سراسر متن برای توابع مشخص حفظ می­کنيم.  

  •  

(ث) اگر    يک تابع اندازه پذير مختلط بر    باشد، يک تابع اندازه پذير مختلط مانند       بر   هست به طوری که             و                           .

برهان.  فرض کنيم                           و     صفحه ی مختلط باشد که مبدأ از آن برداشته شده است به ازای              تعريف می کنيم                    و قرار می دهيم                                     .اگر        ،          ؛ اگر       ،                                            .چون    بر      پيوسته و   اندازه پذير است، اندازه پذيری        از (پ)، (ت) و قضيه ی 1. 7 نتيجه می شود. ¾

  • جبر توليد شده
  1. 10 قضيه. اگر F گردايه ای از زير مجموعه های   باشد، کوچکترين 

    – جبر در     مانند M موجود است به طوری که M F    .

گاهی اين M را جبر توليد شده به وسيله F می نامند.

 

  • برهان

برهان.  فرض کنيم    خانواده تمام    – جبرهای M در      باشد که شامل F اند.

فرض کنيم M* اشتراک تمام M     ها باشد. واضح است که     M   F و M* در هر    – جبر در     که شامل F باشد قرار دارد. می توان نشان داد که M* خود يک    – جبر است. ¾

  • مجموعه های بورل
  1. 11 مجموعه های بورل. فرض کنيم يک فضای توپولوژيک باشد. بنا بر قضيه ی 1 .10، کوچکترين     – جبر مانند  B در    هست به طوری که هر مجموعه باز در    متلعق به B است. اعضای B را مجموعه های بورل       می نامند.

اجتماع شمارشپذير از مجموعه های بسته را      و اشتراک شمارشپذير از مجموعه های باز را       می ناميم.

  • نگاشت های بورل

فضای اندازه پذير (B ،     ) را در نظر می گيريم. هرگاه

 يک نگاشت پيوسته از    بوده و    يک فضای توپولوژيک باشد، آنگاه از تعاريف واضح است که به ازای هر مجموعه باز     در     ، B               .

 به عبارت ديگر، هرنگاشت پيوسته از     اندازه پذير بورل می باشد.

نگاشت های اندازه پذير بورل را اغلب نگاشت های بورل يا توزيع بورل می نامند.

  • قضيه
  1. 12 قضيه. فرض کنيم M يک    – جبر در    و    يک فضای توپولوژيک باشد. همچنين     مجموعه    را به توی    بنگارد.

(آ) هرگاه     گردايه تمام مجموعه های             باشد که             M

آنگاه      يک    – جبر در    است.

(ب) هرگاه    اندازه پذير و    يک مجموعه بورل در    باشد، آنگاه                                M.

  •  

(پ) هرگاه                و به ازای هر      ی حقيقی، M

آنگاه     اندازه پذير می باشد.

(ت) هرگاه       اندازه پذير و         يک فضای توپولوژيک و

 يک نگاشت بورل بوده و                ، آنگاه

 اندازه پذير است.

  • برهان

برهان. 

(آ) از روابط

و                 

نتيجه می شود.

(ب) فرض کنيم    همانند در (آ) باشد. اندازه پذيری     ايجاب می کند که       شامل تمام مجموعه های باز در     باشد، و چون     يک    – جبر است،     شامل تمام مجموعه های بورل در    می باشد.

  •  

(پ) فرض کنيم    گردايه تمام                      هايي باشد که M                 عدد حقيقی    را اختيار کرده و           را چنان می گيريم که وقتی             ،                . چون به ازای هر       ،                    و

و نيز (آ)    – جبر بودن    را نشان می دهد، معلوم می شود که                        همين امر در مورد                                             برقرار است. چون هر مجموعه ی باز در        اجتماع شمارشپذيری از بازه های باز از نوع فوق است،     شامل هر مجموعه ی باز می باشد. لذا      اندازه پذير می باشد.

  •  

برای اثبات (ت) فرض می کنيم        باز باشد. در اين صورت                                                                 يک مجموعه ی بورل  است و چون

قسمت (ب) نشان می دهد که                   ¡

 

 

فرمت فایل :پاورپوینت

تعداد اسلاید:408

متن بالا فقط تکه هایی از محتوی متن پروژه میباشد

که به صورت نمونه در این صفحه درج شده است.

شما بعد از پرداخت آنلاین فایل را فورا دانلود نمایید.

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين

آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين

بازدید: 44

دیدگاهها

هیچ دیدگاهی برای این محصول نوشته نشده است.

اولین نفری باشید که دیدگاهی را ارسال می کنید برای “آناليز حقيقي و مختلط والتر رودين”

اگر سوالی پیش از خرید دارید می توانید در این قسمت مطرح کنید.